28/5/23
Una aplicación del método de sustitución
26/5/23
Puntos de historia de la matemática
La importancia del álgebra booleana
11/2/15
Evento Internacional sobre Enseñanza de la Matemática
bcarazo@ucp.ma.rimed.cu,
bcarazo@sjm.umcc.cu,
raydel.valladares@umcc.cu,
eventomatecompu@gmail.com
y además contamos con una página en Facebook
www.facebook.com/eventosinternacionalesuniversidadmatanzas
Esperando que se anime en asistir para compartir saberes, se le saluda desde Cuba,
Miembros del Comité Organizador.
MSc. Bernardino A. Almeida Carazo
MSc. Raydel Valladares Rodríguez
*
5/10/14
Pionero de la Economía Matemática
24/9/12
Sobre la medición en Economía
*
Sobre la medición en Economía.
La medición en Economía, como en toda ciencia y para toda realidad, es central. El punto es que todo, absolutamente todo, para ser caracterizado de la manera más completa, más integral posible, necesita además de ser calificado, ser cuantificado. Se califica con palabras que tipifican las propiedades de las cosas y se cuantifica con números que precisan sus mediciones.
12/7/12
Base matemática de Pitágoras
Tomado de:
Los pitagóricos no estaban interesados en «formular o resolver problemas matemáticos», ni existían para ellos problemas abiertos en el sentido tradicional del término.
El interés de Pitágoras era el de «los principios» de la matemática, «el concepto de número», «el concepto de triángulo» (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de «prueba».
Pitágoras reconocía en los números propiedades tales como «personalidad», «masculinos y femeninos», «perfectos o imperfectos», «bellos y feos». El número diez era especialmente valorado, por ser la suma de los primeros cuatro enteros [1 + 2 + 3 + 4 = 10], los cuales se pueden disponer en forma de triángulo perfecto: la tetraktys. Para los pitagóricos, «las cosas son números» y observaban esta relación en el cosmos, la astronomía o la música.
27/5/11
Para Una Historia del Concepto de Función
Las negrillas, algunas sangrías, conexión de algunos párrafos y el comentario inicial son nuestros para efectos de estudio.
Si estas afirmaciones son cercanas a la verdad entonces sería lógico sugerir que el concepto de función debe haber aparecido desde las primeras etapas del desarrollo de las matemáticas.
Por lo tanto tenemos que rechazar la sugerencia de que el concepto de función estuviera presente en las matemáticas babilónicas aunque podamos ver que estudiaban funciones específicas.
Ptolomeo lidió con las funciones pero es poco probable que comprendiera el concepto de función.
Youschkevich escribe [32]: La noción de una función aparece por primera vez en una forma más general durante el siglo XIV en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París.Galileo estaba empezando a entender el concepto aún con mayor claridad.
Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Descartes introducía el álgebra a la geometría en La Géometrie (La geometría).
Leibniz escribió en agosto de 1673 de:[...] otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función.Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz escrita el 2 de septiembre de 1694, describe una función como: [...] una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes.
En un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos, Johann Bernoulli escribe sobre 'funciones de ordenadas' (ver [32]). Leibniz le escribió a Bernoulli diciendo:[...] Me agrada que use el termino función en el mismo sentido que yo.
Se puede decir que en 1748 el concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Esto se debió a Euler quien publicó Introductio in analysin infinitorum en el año en que hace central el concepto de función en su presentación del análisis. Euler definió una función en el libro como sigue: Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.
Divide sus funciones en distintos tipos tales como algebraicas y trascendentes.
Hasta Euler las cantidades trigonométricas seno, coseno, tangente, etc. se consideraban como líneas relacionadas con el círculo más que como funciones. [...] Fue Euler quien introdujo el acercamiento funcional.
Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas.
Cauchy, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función. Escribió en Cours d'analyse: Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.
Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición: En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola.
Antes, cuando se inventaba una nueva función era con una meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que el razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más que eso de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por lo más general, es decir, las funciones más estrambóticas.
Goursat, en 1923, dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x).
3/8/10
Teoría de Matrices, una definición inicial
Inicialmente una rama secundaria del álgebra lineal, ha venido cubriendo los temas relacionados con la teoría de grafos, el álgebra, la combinatoria, y la estadística también.
Las matrices ahora se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo.
Biografía de J. J. Sylvester
26/4/10
Economía Matemática
Las negrillas, sangrías y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos de estudio.
Tomado de:
http://mzuluaga.wordpress.com/2006/12/24/economia-matematica/
ECONOMIA MATEMATICA
Por Mario Zuluaga
El uso de la matemática en los análisis económicos data del siglo XIX, Leon Walras (1834-1910), Agustin Cournot, (1801-1877) y William Jevons (1835-1882) fueron de los primeros economistas que hicieron uso sistemático de aquéllas en el estudio de fenómenos económicos.
Ya en ese entonces, aquellos economistas encontraban el uso de la matemática en su novel ciencia como una osadía que daría a su disciplina tintes de rigor científico y respetabilidad.
Veamos lo que decía W.S. Jevons en su obra Teoría de la Economía Política, [1]:
"Muchos objetarán, sin duda, que las nociones de que tratamos en esta ciencia no son susceptibles de medición alguna.
No podemos pesar, ni aforar, ni poner en tubo de ensayo los sentimientos; no existe una unidad de trabajo, sufrimiento o placer.
A esto respondo, en primer lugar, que no hay nada menos indigno de confianza en la ciencia que un espíritu sin curiosidad ni esperanza. En materias de esta índole, aquellos que desesperan son, casi invariablemente, quienes nunca han intentado tener éxito. Podría mostrarse abatido quien hubiera pasado su vida en una tarea difícil, y sin un destello de esperanza; pero la opinión popular contraria a la extensión de la teoría matemática tiende a desalentar de hecho cualquier intento de emprender tareas que, aunque difíciles, un día u otro deben ser realizadas."
Hoy en día casi todos los economistas, en casi todas las universidades del mundo, se sienten muy cómodos y seguros de las conclusiones que sacan de un análisis matemático aplicado a su disciplina. No obstante, existen corrientes importantes de pensamiento económico que consideran la inutilidad de la matemática en la economía, yendo aún más lejos, cuando afirman que la matemática en los análisis económicos conduce a errores insalvables.
Quizás, es la escuela austríaca de economía, los seguidores de Ludwig Von Mises y Friedrich A Von Hayek, los más contundentes contradictores de la economía matemática.
Lawrence Klein, Premio Nobel de Economía de 1980, afirmaba que las contribuciones no matemáticas a la economía son vagas, burdas y torpes.
También, Gérard Debreu, (1921-2004), premio Nobel de Economía de 1983, uno de los más importantes representantes de la economía matemática moderna, afirmaba que el carácter inflexible de la matemática lo llevaba a encontrar supuestos cada vez más débiles y conclusiones cada vez más fuertes que lo condujeran a explicaciones económicas sencillas.
Pero una cosa es la estadística y otra muy distinta el análisis matemático.
Con estadísticas podemos descifrar lo que ha acontecido, no lo que acontecerá. Con el análisis matemático pretendemos entender lo que vendrá.
La matemática es quizás la herramienta más rigurosa, seria y difícil de las que dispone la razón humana.
Un teorema de la matemática no admite fisuras lógicas ni interpretaciones contradictorias.
La enorme mayoría de los pensadores sociales olvidan que la matemática no afirma nada ni se refiere a cosa alguna. Bertrand Russell decía que las Matemáticas pueden ser definidas como aquel tema en el cual ni sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero. Esta frase, que parece peyorativa, encierra un conocimiento profundo de la actividad matemática. La matemática establece relaciones entre objetos y conceptos abstractos sin preguntarse por su valor de verdad absoluto. Cuando en matemáticas decimos que si es verdadera la proposición P entonces también lo es la proposición Q, no estamos diciendo que las proposiciones P y Q son siempre verdaderas, simplemente estamos estableciendo una relación de causalidad entre ellas. Es por ello que todos los teoremas de la matemática empiezan con la partícula condicional si.
En otras palabras, la matemática no va más allá de los principios elementales de la lógica formal (el sentido común, tan escaso entre los ingenieros sociales) Pero lo más peligroso del pensamiento de las ciencias sociales lo advertimos cuando la simbología de la matemática es trasplantada a aquéllas.
Por ejemplo: cuando en el lenguaje coloquial decimos que la dicha (d), concepto benthamiano harto vago, depende o está en función, de la confianza (c), algunos economistas no dudan en escribir que d = F(c), poniendo su concepto en términos de una ecuación matemática. De allí en adelante todo es confusión y disparates. Van más lejos: como la dicha y la desdicha son emociones humanas que se intercalan, no dudan en afirmar que la función F, que no sabemos cómo opera, habrá de ser una aplicación periódica. Algunos, más osados y sin ningún empacho, dirán que su período debe ser 2π, o algo por el estilo. Otros, aún más animados con la matemática, dirán que la desconocida función F ha de ser sen(x) o cos(x), por ejemplo. Una vez construído el monstruo y puesto a circular en el mundo del análisis matemático debemos estar dispuestos a escuchar cualquier cantidad de conclusiones delirantes, mismas que se traducen en recomendaciones, las más de las veces acatadas por gobernantes despistados.
Otro ejemplo importante lo encontramos en las funciones de utilidad.
La utilidad es otro concepto de vaga definición pues aquello que es útil para una persona no lo es para otra; no existe una definición universal de lo que debemos entender por utilidad.
No obstante los economistas escriben u = F(x), en donde x determina la cantidad del bien que causa la utilidad. La función F es desconocida y tampoco tenemos una idea coherente de lo que significa una unidad de utilidad o satisfacción.
Pero ello no es lo más grave, lo más perturbador lo encontramos cuando las parejas (u,F(x)) son representadas en un gráfico continuo en un plano cartesiano, sabiendo que la variable x fluctúa en el conjunto de los números naturales {1,2,3,…} y no en el conjunto de los números reales.
Y van más allá: afirman que la desconocida función F es derivable y que su derivada F´(x), la utilidad marginal, es decreciente. O aún más estruendosamente, que su segunda derivada F´´(x) es negativa.
Tratar de hacer cálculo diferencial e integral en un universo de aplicaciones definidas sobre el conjunto de los números naturales {1,2,3…} es un dislate de mayúsculas proporciones.
Desde el punto de vista de la teoría de la medida, dichas funciones son todas equivalentes a la aplicación nula.
También, creer que conocemos los valores o las “utilidades” de las aplicaciones en los intervalos abiertos (1,2), (2,3),…ctc es auto engañarse, y suponer, además, que dichas aplicaciones son derivables o continuas en aquellos intervalos es pecar contra el sentido común y la economía.
Por ejemplo: supongamos que podemos asignarle unidades de utilidad al bien automóvil, digamos. Sé entonces – lo estoy suponiendo – que conozco la utilidad de 1 automóvil, dos automóviles, tres…ctc. ¿Es razonable pensar que conozco la utilidad de 21/18 de automóvil, o peor aún de π automóviles? (π =3.1416….)
Son muchos más los ejemplos que podemos poner en los cuales el uso de la simbología matemática se presta para análisis equivocados. Finalmente, pongamos el caso de las funciones de preferencias. La idea es asignarle a cada bien un número real que indique el grado de preferencia del consumidor. Lo esencial aquí es ordenar las preferencias en términos del orden que conocemos para el conjunto de los números reales. La característica de esta relación de orden estriba en la ley de tricotomía y su transitividad. Me explico: dados dos números x e y, uno, y sólo uno, de los tres casos siguientes habrá de cumplirse, x = y, x > y, x <> w y w > z entonces x > z. Pretender que las preferencias del consumidor se comportan con estas reglas es creer que la raza humana se compone de autómatas. Entre dos bienes, un consumidor puede no preferir ninguno, por ejemplo. Entre una galleta y un helado un consumidor puede preferir la galleta, entre el helado y una fruta puede preferir el helado, pero entre la fruta y la galleta puede preferir la fruta. No hay tal transitividad.
Como decía Ludwig Von Mises: La acción humana no es matematizable. Representar las relaciones de la economía a punta de símbolos matemáticos equivale a interpretar la novena sinfonía de Beethoven con el sólo uso de un tambor.
El Doctor Antonio Pulido San Román, econometrista de la Universidad Autónoma de Madrid, nos relata en [2] que John Eatwell, economista de la Universidad de Cambridge, afirmaba que si el mundo no es como el modelo, pues peor para el mundo.
Los matemáticos, que no les importa la economía pues es una ciencia social alejada de sus preocupaciones profesionales, se han tomado las aulas de las academias de economía, no para aclarar sino para influir.
Referencias
[1] William Stanley Jevons Teoría de la Economía Política, SIGMA, El mundo de las Matemáticas, Antología de James R. Newman, vol 3, Grijalbo, 1968.
[2] Antonio Pulido San Román. Posibilidades y limitaciones de la Matemática en la Economía, Cuadernos del fondo de investigación Richard Stone, No 1, Junio de 2002.
[3] Gene Callahan, Logical Economics vs. Mathematical Economics, http://www.mises.org/story/616[4] Gary Galles, The Uses and Abuses of Math, http://blog.mises.org/archives/004665.asp
[5] Robert Wutscher, Foundations in economic methodologies: The use of mathematics by mainstream economics and its methodology by Austrian economics, http://www.mises.org/journals/scholar/Wutscher.pdf
*
26/3/10
La matemática en Grecia
Seres matemáticos
Las negrillas, sangrías y separación de algunos párrafos son nuestros para efectos d estudio.
Tomado de:
http://www.filosofia.org/cla/ari/azc10349.htm
Obras de Aristóteles Metafísica
Patricio de Azcárate
Metafísica · libro décimotercio
I
¿Hay o no seres matemáticos?
Hemos dicho en nuestro tratado de Física cuál es la naturaleza de la sustancia de las cosas sensibles, primero cuando nos ocupamos de la materia, y después al tratar de la sustancia en acto{497}. He aquí cuál es ahora el objeto de nuestras indagaciones:
¿Hay o no fuera de las sustancias sensibles una sustancia inmóvil y eterna? Y si esta sustancia existe, ¿cuál es su naturaleza?
Hay dos sistemas con relación al asunto que nos ocupa.
Se [350] admite como sustancias particulares los seres matemáticos, como los números, las líneas, los objetos del mismo género, y con ellos las ideas. Hay unos que de estos seres hacen dos géneros diferentes; de una parte las ideas, y de otra los números matemáticos; otros consideran estos dos géneros una sola y misma naturaleza; y otros, finalmente, pretenden que las sustancias matemáticas son las únicas sustancias.
Comencemos por la consideración de las sustancias matemáticas, y examinémoslas independientemente de toda otra naturaleza. No preguntemos, por ejemplo, si son o no ideas, si son o no principios y sustancias de los seres; preguntemos, como si sólo tuviéramos que ocuparnos de los seres matemáticos, si estas sustancias existen o no, y si existen, cuál es el modo de su existencia.
Los seres matemáticos, si existen, están necesariamente en los objetos sensibles, como suponen algunos, o bien están separados de ellos (hay quienes admiten esta opinión). Si no están, ni en los objetos sensibles, ni fuera de ellos, o no existen, o existen de otra manera.
Nuestra duda recaerá por lo tanto aquí, no sobre el ser mismo, sino sobre la manera de ser.
{497} Aristóteles trata de la sustancia material en el primer libro de la Física, y en el segundo de la sustancia en acto, o de la esencia. Véanse también en la Metafísica los libros VII y siguientes.
{498} Es sabido que estos tratados no existen.
--------------------------------------------------------------------------------
Proyecto Filosofía en español
© 2005 www.filosofia.org Patricio de Azcárate · Obras de Aristóteles
Madrid 1875, tomo 10, páginas 349-350